28 Mart 1919'da Ukrayna'nın Odessa kentinde doğdu. Asıl adı Anatole Bisk’tir. Bir yaşında iken ailesi Bulgaristan’a göç etti.Bir süre Varna ve Sofya’da yoksulluk içinde yaşayan aile 1925 yılında Belçika’ya göç etti. Belçika vatandaşlığına kabul edildi. Brüksel Özgür Üniversitesi ve Sorbonne Üniversitesi’nde felsefe öğrenimi gördü. 1940 yılında Almanların Belçika'yı işgali üzerine orduya yazıldı. Ordunun dağıtılması üzerine 1942 yılında Avrupa ülkeleri ve Küba üzerinden ABD'ye geçti, New York’a yerleşti. New York’ta, De Gaulle yanlısı Fransız gazetesi La Voix de la France’ta çalışmaya başladı, André Breton ve Saint John Perse gibi göçmen Fransız ozanlarıyla tanıştı. Ardından Amerikan ordusuna yazılarak ABD vatandaşlığına geçti. ABD ordusunda iken Normandiya ve Versailles’a geldi; savaşın son günlerinde ve sonrasında bir süre Berlin’de bulundu. 1951 yılında Paris’e döndü ve kendini bütünüyle edebiyat çalışmalarına verdi. Combat, le Figaro, le Monde, la Nouvelle Revue Française, Nota bene’de çalıştı. Fransa vatandaşlığına 1980 yılında geçti. Belçika Kraliyet Fransız Dil ve Edebiyatı Akademisi ile Quebec Edebiyat Akademisi üyesi olan Bosquet, Mallarmé Akademisi’nin başkanlığını yaptı. 8 Mart 1998 tarihinde Paris’te yaşamını yitirdi.